Математика 5. разред

ПЕТИ РАЗРЕД

(4 ЧАСА НЕДЕЉНО, 144 ЧАСОВА ГОДИШЊЕ)
Оперативни задаци
Ученике треба оспособити да:
умеју да формирају и графички приказују скупове и њихове подскупове;
изводе скуповне операције и правилно употребљавају одговарајуће ознаке;
схватају смисао речи "и", "или", "не", "сваки", "неки";
схвате познате геометријске објекте (права, дуж, полуправа, раван, кружница, круг, угао и др.);
упознају углове уз трансверзалу паралелних правих, углове с паралелним крацима и њихова својства, као и да умеју да цртају праву паралелну датој правој;
упознају дељивост природних бројева и основна правила дељивости;
умеју да одређују најмањи заједнички садржалац и највећи заједнички делилац;
схвате појам разломка, умеју да га записују на разне начине и врше прелаз с једног начина на други;
умеју да упоређују разломке и да их представљају на бројевној правој;
стекну довољну увежбаност у извођењу основних рачунских операција с разломцима (у оба записа);
могу да читају, састављају и рачунају једноставније бројевне изразе;
умеју да реше једноставније једначине и неједначине с разломцима;
увиђају математички садржај у текстуалним задацима и изражавају га математичким језиком;
упознају осну симетрију и њена својства, као и да умеју да конструишу симетрале дужи, симетрале угла и нормале на дату праву кроз дату тачку.
САДРЖАЈИ ПРОГРАМА
Скупови
Скуп, елементи, подскуп, једнакост скупова, празан скуп (с одговарајућим знацима).
Венови дијаграми.
Скуповне операције: унија (У), пресек (Ǽ/СПАН>), разлика (). Речи: "и", "или", "не", "сваки", "неки".
Обнављање својстава скупа Н (природних бројева) и скупа Н0 (природних бројева са нулом).
Основни геометријски објекти:
Права, дуж, полуправа, раван.
Изломљене линије; области.
Кружница (кружна линија), круг. Кружница и права; тетива и тангента.
Угао
Угао (појам, елементи, обележавање).
Централни угао; кружни лук и тетива. Преношење углова.
Врсте углова (опружен, прав, оштар, туп, пун угао).
Упоређивање углова.
Мерење углова (јединице: степен, минут, секунд; угломер).
Сабирање и одузимање углова.
Појам комплементних и суплементних углова.
Суседни, упоредни и унакрсни углови.
Паралелне праве с трансверзалом и углови које оне чине.
Углови с паралелним крацима.
Дељивост бројева
Дељење у скупу Н0 (једнакост а=бq+р, 0др<б).
Појам дељивости; чиниоци и садржаоци природног броја.
Дељивост декадним јединицама. Дељивост са 2, 5, 3. Дељивост са 4 и 9.
Прости и сложени бројеви. Растављање природних бројева на просте чиниоце.
Заједнички делилац и највећи заједнички делилац. Заједнички садржалац и најмањи заједнички садржалац.
Разломци

Појам разломка облика -	а
Појам разломка облика -	б

Проширивање и скраћивање разломака.
Упоређивање разломака.

Децимални запис разломка. Превођење децималног записа разломка у запис облика	а		(а,б μ/СПАН> Н)	Заокругљивање бројева.
	б

Придруживање тачака бројевне полуправе разломцима.
Основне рачунске операције с разломцима (у оба записа - обичном и децималном) и њихова својства. Изрази.
Једначине и неједначине у скупу позитивних рационалних бројева облика: x + а = б, x - а = б, x + а > б, x - а > б, x + а < б, x - а < б, а - x < б, а - x > б, аx = б, x : а = б, аx + б = ц, аx - б = ц, а(x + б) = ц, а(x - б) = ц, а(x - б) = ц, аx < б, аx > б, x : а < б, x : а > б, а : x = б, а : x < б, а : x > б, и сличне.
Аритметичка средина. Основна неједнакост: за п < q, п < (п + q)/2 < q. Између свака два рационална броја налази се рационалан број (тј. неограничен број њих), јер је скуп рационалних бројева густ у себи.
Размера и њене примене (алгебарска и геометријска интерпретација).
Осна симетрија
Осна симетрија у равни. Симетричне тачке; симетричност двеју фигура у односу на праву. Оса симетрије фигуре.
Симетрала дужи и симетрала угла; конструкције.
Напомена: Обавезна су четири једночасовна школска писмена задатка годишње (с исправкама 8 часова).
НАЧИН ОСТВАРИВАЊА ПРОГРАМА
Због лакшег планирања наставе даје се оријентациони предлог броја часова по темама по моделу (укупан број часова за тему; број часова за обраду + часова за понављање и увежбавање).
Скупови (16; 7 + 9)
Скупови тачака (12; 5 + 7)
Дељивост бројева (12; 5 + 7)
Угао (20; 8 + 12)
Разломци (62; 26 + 36)
Осна симетрија (14; 5 + 9)
Скупови. Коришћењем примера из текућих садржаја, даље се осмишљава појам скупа као најопштији у односу на друге појмове математике, што доприноси изграђивању математичког језика и уноси прецизност у изражавању.
Настава о скуповима у В разреду треба да представља известан корак напред у односу на оно што је ученицима већ познато. Потребно је, на разноврсним примерима, користити одговарајуће симболе (знаке) и уочавати законитости скуповних операција уз помоћ Венових дијаграма. На подесним примерима треба илустровати употребу речи: сваки, неки, или, и, не, следи. При раду с дијаграмима ове речи ће се везивати за скуповне операције и релације. Задржати се на два скупа.
Обновити својства скупова Н и Н0 (бити претходник или следбеник) и подсетити се придруживања бројева тачкама бројевне праве.
Наставити с даљим изграђивањем појмова: бројевни израз, променљива, израз с променљивом и придруживање (повезано с рачунским операцијама, одговарајућим једначинама и неједначинама), користећи при томе и термине: израз, формула (уместо релација, јер се уобичајено каже - Напишите формулу за израчунавање обима квадрата и сл.), исказ. Мада се појам пресликавања (функције), као и сам термин, не уводе, треба уочавати и наводити примере једноставнијих (функцијских) зависности у разним областима (откривање правила придруживања, придруживање по датом правилу: бројева - бројевима, бројева - дужима, бројева - површима, бројева - именима и др.). При томе нарочито помаже коришћење дијаграма и табела (табела вредности израза, табела резултата неког пребројавања или мерења и др.).
Користити се поменутим дијаграмима и табелама.
Геометријски објекти. Геометријски објекти се развијају као идеје које настају у процесу опажања модела реалног света, а такође и путем њиховог представљања геометријским сликама. Као и у класичној Еуклидовој геометрији, ти објекти су континуиране целине, међу којима се успостављају односи инцидентности, а у 5. разреду бројевна права ће се даље попуњавати бројевима, што ће касније водити њеном поимању као скупу тачака, а преко тога и поимању других геометријских објеката на тај начин. Напоменимо да се под појмовима "круг" и "многоугао" подразумевају делови равни које чине граничне линије с њиховим унутрашњим областима.
Угао. - Угао треба схватити као део равни који чине две полуправе са заједничком почетном тачком заједно с облашћу између њих. Без фиксирања јединице мере треба показати како се упоређују дати углови и како се они класификују. Однос између централног угла и одговарајућег лука, односно тетиве, треба утврдити експериментално ("преношењем"). То исто, такође, користити за увођење појма јединице за мерење углова. Конструисати угао једнак датом углу. Увести појмове суседних, упоредних и унакрсних углова. Уочавати те углове у разним геометријским конфигурацијама. Дефинисати праве углове као углове једнаке својим упоредним угловима. Истаћи чињеницу да краци правог угла одређују нормалне праве.
Коришћењем односа углова које чини пар паралелних правих с трансверзалом, изводити односе углова с паралелним крацима, и др. Не морају се уводити посебни називи за парове неких углова уз трансверзалу паралелних правих (сагласни, супротни и наизменични).
Дељивост бројева. - Подсетити да дељење у скупу природних бројева без остатка није увек могуће, увести дељење с остатком. Објашњавајући релацију а = бq + р, 0 д р < б, , где је а дељеник, б делилац, q количник, а р остатак, добро подвући значај неједнакости 0 д р < б. Инсистирати на запису а = бq + р. Увести појам дељивости, чинилаца и садржалаца природног броја.
Правила дељивости појединим бројевима, појмови простог и сложеног броја, растављање природних бројева на просте чиниоце и одређивање НЗД и НЗС имају своју примену код разломака (скраћивање, проширивање, довођење разломака на једнаке имениоце и др.).
Разломци. - Ова тема је основна у В разреду и неопходно је да се она добро усвоји. Највећу пажњу посветити операцијама с разломцима и децималним записима бројева.
Раније су ученици упознали разломак као део целине, а сада се овај појам проширује: разломак се уводи и као количник два природна броја, а затим и као размера. Упоређивање разломака и основне операције с њима важно је обављати упоредо у обичном и децималном запису. Увежбавати и истицати својства ових операција. Код операција с тзв. мешовитим бројевима довољно је узимати само најпростије случајеве. Уопште, треба избегавати гломазне разломке. Упознати се са начинима заокругљивања бројева.
Илустровање операција на бројевној правој (полуправој) повећава степен разумевања и свесног усвајања ове сложене материје за ученике петог разреда.
Одговарајућим једначинама и неједначинама треба посветити довољну пажњу. Водити рачуна о ограничењима (нпр. 0 д x + а < б).
Важно је правилно формирање и разумевање појма размере (преко упоређивања истоимених величина). Оспособити ученике за њено коришћење у пракси: при цртању и читању разних планова, карата, графикона; при одређивању растојања (коришћењем мапа или слично); при решавању проблема поделе у датој размери (и ништа више) и при повећавању и смањивању слика (геометријских и других). Обраду овог градива подредити практичном циљу, уз повезивање с већ упознатим садржајима математике и оних у другим областима (географија, техничко образовање, ликовно васпитање и др.).
Увести појам двојног разломка и објаснити га као дељење два разломка.
Реализација свих садржаја ове теме треба у највећој мери да буде повезана с решавањем разних практичних проблема.
Осна симетрија. - Битни садржаји које обухвата ова тема су: илустровање осне симетрије уз помоћ модела, коришћењем природних ситуација и квадратне мреже (као уводни корак), уочавање својстава која остају непромењена, конструкција осно-симетричних тачака и фигура (конструкција нормале на дату праву кроз дату тачку и др.), конструкције симетрале дужи и симетрале угла, као и неке њихове једноставније примене.
ДОДАТНИ РАД
(Оријентациони програм; 36 часова годишње)
Скупови. Везници и њихова интерпретација скуповним операцијама и релацијама. (4)
Релације; графиви. Логички задаци. (4)
Дељивост бројева. (2)
Разломци (својства и рачунање у скупу позитивних рационалних бројева) - одабрани задаци. (6)
Дијаграми и њихова примена у решавању разноврсних математичких проблема - Венови дијаграми, метод дужи и сл. (4)
Изометријске трансформације (осна симетрија, конструкције савијањем папира) - одабрани конструктивни задаци. (6)
Права и кружница - конструктивни задаци. (4)
Задаци логичко - комбинаторне природе. (4)
Развој нумерације. (2)
Напомена. - Назначени број часова (у загради), за поједине теме, је оријентациони и може да се повећа или смањи за један час. Такође, известан број часова (највише 5) може да буде искоришћен за решавање задатака са математичких такмичења или задатака који по свом садржају излазе из оквира препоручених тема.

ОЧЕКИВАНИ РЕЗУЛТАТИ Наставе математике у петом разреду
ТЕМА	ЦИЉ	РЕЗУЛТАТИ По завршетку теме ученик ће бити у стању да:
1. Скупови	-Употпуњавање и проширивањ знања о природним бројевима и скуповима	1.Наводи особине природних бројева и природних бројева са нулом 2.Уме графички да представи природне бројеве на бројевној полуправој 3.Зна шта је бројевни израз и да израчуна вредност израза 4.Зна шта је променљива и израчуна вредност израза са променљивом 5.Уме да формира и приказује скупове и њихове подскупове симболима и Веновим дијаграмом 6.Зна шта је празан скуп 7.Зна када су скупови једнаки 8.Уме да одреди број елемената скупа 9.Зна шта је подскуп скупа, унија, пресек и разлика скупова и уме да их запише и представи Веновим дијаграмом 10.Одреди резултат скуповних операција 11.Уме да употреби речи:сваки, неки, или, и, не , следи, (у вези са скуповним операцијама и релацијам
2.Основни геометријски објекти	-Стицање знања о геометријским објектима	1.Уме да дефинише дуж, полуправу, кружницу, круг, тетиву, и тангенту 2.Зна шта је раван а шта је полуправа 3.Зна да две различите тачке одређују праву, а три тачке које не припадају правој равни 4.Зна шата је многоугаона линија и многоугао 5.Уме да црта паралелне и нормакне праве 6.Уме да објасни мађусобни положај две праве, кружнице и праве и кружнице 7.Уме да користи геометријски прибор
3.Угао	-Стицање основних знања о угловима	1.Зна шта је угао, шта су његови елементи 2.Уме да обележава угао 3.Зна шта је оштар, прав, туп, опружен и пун угао 4.Зна да краци правог угла одређују две нормалне праве 5.Зна шта је централни угао, кружни лук и њему одговарајући угао 6.Зна да су два централна угла једнаких полупречника једнака ако су им одговарајући лукови једнаки 7.Уме да упоређује углове 8.Зна да сабира и одузима углове конструкцијски 9.Зна јединице за мере углова 10.Зна да сабира и одузима углове коришћењем мере угла 11.Зна шта су комплементни и суплементни углови 12.Зна шта су суседи, упоредни и унакрсни углови 13.Зна шта су углови са паралелним крацима и уме да их упоређује 14.Уме да упоређује углове која права пресецајући две паралелне праве са њима гради
4.Дељивост	-Стицање знањаиз дељивости	1.Зна да дељење у скупу природних бројева није увек могуће без остатака 2.Уме да користи релацију a=bq+r где је r мање од b 3.Зна шта је чинилац, а шта садржалац природног броја 4.Уме да примени правила дељивости декадним јединицама и бројевима 2, 3, 4, 5, и 9 5.Зна шта су прости, ашта сложени бројеви 6.Уме да растави сложени број на просте чиниоце и зна шта су узајамно прости бројеви 7.Уме да одреди НЗС и НЗД бројева
5.Разломци	-Стицање основних знања о разломцима	1.Зна да дефинише разломак (запис а/б, а,б,природни бројеви) 2.Зна шта је прави и неправи разломак и шта је мешовити број 3.Уме да прошири, скрати и упореди разломке 4.Зна ште је децимални запис разломка 5.Уме да преводи разломке из једнохг записа у други 6.Уме да заокругљује децимални запис 7.Уме разломке да придружује тачкама бројевне полуправе 8.Уме да сабира, одузима, множи и дели разломке у оба записа 9.Зна особине наведених операција 10.Зна шта је двојни разломак 11.Уме да решава једначине и неједначине у скупу разломака 12.Уме да рачуна вредност бројевног израза 13.Зна шта је аритметичка средина 14.Зна да се између било која два разломка налази неограничен број нових разломака 15.Зна шта је размера и да је размера разломак 16.Уме да решава практичне проблеме у вези размере
6.Осна симетрија	-Стицање основних знања из осне симетрије	1.Зна шта је оса симетрије 2.Зна шта су осно симетричне тачке а шта осно симетричне фигуре 3.Уме да нацрта симетричну тачку датој тачки 4.Зна шта је симетрала дужи 5.Зна да је свака тачка симетрале дужи подједнако удаљена од крајева те дужи 6.Уме да конструјише симетралу дужи 7.Зна шта је симетрала угла 8.Зна да је свака тачка симетрале угла подједнако удаљена од кракова тог угла 9.Уме да конструјише симетралу угла 10.Уме да конструјише праву која садржи дату тачку и нормална је на дату праву